اطلاعات عددی
توضیح اولیه
دانش آموزان سؤالاتی را که می توانند با مفروضات عددی تهیه شوند، مطرح و تصحیح می کنند. آن ها به جنبه های اطلاعات جمع آوری شده، مانند چگونگی به دست آوردن اندازه ها و ضبط اطلاعاتی که جمع آوری کرده اند، توجه خواهند کرد و اطلاعات عددی مرتبط را با توصیف شکل و ویژگی های مهم مجموعه ای از اطلاعات و مقایسه ی مجموعه ی اطلاعات مرتبط، با تأکید بر چگونگی توزیع اطلاعات، ارائه می دهند و تحلیل می کنند. در اطلاعات جمع آوری شده، دانش آموزان با واحد های استاندارد، اندازه گیری خواهند کرد و تبدیل واحد های ساده را انجام می دهند، مثلاً از سانتیمتر به متر.
اهداف
دانش آموزان قادر خواهند بود:
سؤالاتی را که می توانند با اطلاعات عددی تهیه شوند، مطرح و تصحیح کنند.
به جنبه های اطلاعات جمع آوری شده، مانند چگونگی به دست آوردن اندازه ها و ضبط اطلاعاتی که جمع آوری کرده اند، توجه کنند.
اطلاعات عددی مرتب را با توصیف شکل و ویژگی های مهم مجموعه ای از اطلاعات و مقایسه ی مجموعه اطلاعات مرتبط، با تأکید بر چگونگی توزیع اطلاعات، ارائه دهند و تحلیل کنند.
با واحد های استاندارد، اندازه گیری کنند و تبدیل واحد های ساده را انجام دهند، مثلاً از سانتیمتر به متر.
وسایل لازم
چوب هایی برحسب متر
کاغذ شطرنجی
طرح درس
این درس از دو یا سه بخش تشکیل شده است: آغاز درس، اداره ی درس و تعمیم درس.
الف. آغاز درس
این بخش از درس، برای جذب علاقه ی دانش آموزان، ایجاد دید کلی از اهداف درس و ارزیابی اطلاعات دانش آموزان از مفاهیم ریاضیاتی درس، مورد استفاده قرار می گیرد. از فعالیت های کوتاه، مسئله ها یا موارد مناسب دیگری برای دانش آموزان استفاده کنید تا دانش آموزان فعالیتشان را انجام دهند و در مورد آن بحث کنند. این اطلاعات شما را قادر می سازد تا به میزان فهم دانش آموزان پی ببرید. زمان لازم برای این بخش، با توجه به نیاز دانش آموزانتان، متفاوت خواهد بود.
اهداف یادگیری:
- دانش آموزن میانه ی یک مجموعه از اطلاعات را می یابند.
- توصیف فعالیت با سؤالات راهنما
به کلاس پیشنهاد دهید که راهی برای تعیین قد نمونه ای دانش آموزان کلاس کشف کنند. دانش آموزان ممکن است چندین پیشنهاد داشته باشند: یافتن میانگین (میانگین – جمع قد تمام دانش آموزان و تقسیم آن بر تعداد دانش آموزان)، ساختن یک نمودارَ یا به ترتیب ایستادن و سنجیدن قدها. پیشنهاد دهید که دانش آموزان به ترتیب قد، صف بکشند. هر قدر که ممکن است از آن ها بخواهید که نگاهی به خودشان بیندزاند (شکل اطلاعات). آیا تعدادی دانش آموز با قدهای یکسان وجود دارند؟ آیا دانش آموزان با قد های برابر، معمولاً در انتهای صف هستند یا در وسط صف؟ بعد از این گفتگو، از بلند ترین و کوتاه ترین دانش آموزان بخواهید که صف را ترک کنند و بنشینند. سپس، دومین دسته ی دانش آموزان کوتاه ترین / بلند ترین را مشخص کنید و به همین ترتیب ادامه دهید. این کار را با دقت انجام دهید، به طوری که در انتها شما یک یا دو دانش آموز باقی مانده خواهید داشت. قد دانش آموز یا دانش آموزان باقی مانده را اندازه گیری کنید. اگر تنها یک دانش آموز باقی مانده است، این اندازه گیری میانه یا قد نمونه ای را بیان می کند. اگر دو دانش آموز باقی مانده اند، قد آن ها را اندازه گیری کنید و از دانش آموزان بپرسید که چگونه قد میانی تعیین می شود. احتمالاً آن ها پیشنهاد خواهند داد که میانگین قد این دو دانش آموز را پیدا کنیم که این دقیقاً چیزی است که نیاز است. برای دانش آموزان یادآوری کنید که قبلاً در این فعالیت، آن ها میانه ی قد دانش آموزان یا وسط یک مجموعه اطلاعات را پیدا کرده اند.
ب. اداره ی درس
موقعیتی برای دانش آموزان فراهم کنید تا مسائل را حل کنند. حدس ها و گمان هایی بزنند، توضیح دهند و از آن دفاع کنند و دانششان را گسترش دهند. در این قسمت ممکن است چندین جلسه لازم باشد. طول جلسات بسته به سرعت یادگیری دانش آموزان می تواند متفاوت باشد.
اهداف یادگیری
قسمت اول: دانش آموزان اطلاعات عددی را جمع آوری، ارائه و تحلیل می کنند.
قسمت دوم: دانش آموزان مجموعه اطلاعات با اشکال مشابه را مقایسه می کنند.
قسمت سوم: دانش آموزان مجموعه اطلاعات با اشکال متفاوت را مقایسه می کنند.
توصیف فعالیت با سؤالات راهنما
قسمت اول: دانش آموزان اطلاعات عددی را جمع آوری، ارائه و تحلیل می کنند.
برای دانش آموزان توضیح دهید که برای قسمت اول این درس، سه سؤال زیر را مطالعه خواهند کرد، اما در ابتدا روی سؤال اول تمرکز خواهند کرد:
- قد نمونه ای دانش آموزان در این کلاس چگونه است؟
- طول نمونه ای پا های دانش آموزان در این کلاس چگونه است؟
- چه تفاوت ها و چه شباهت هایی بین این دو مجموعه اطلاعات مشاهده می کنیم؟
گفتگویی با دانش آموزان در مورد این که آن ها چه چیزی نیاز خواهند داشت تا به سؤالات جواب بدهند، داشته باشید. برخی ممکن است اظهار کنند که کلاس هم اکنون جواب سؤال اول را می داند. دیگران ممکن است اشاره کنند که کلاس به اطلاعات بیشتری در مورد سؤال اول نیاز خواهد داشت تا به سؤال سوم پاسخ دهد. در نهایت، دانش آموزان احتمالاً خواهند فهمید که نیاز دارند که قدها و طول پاهایشان را اندازه بگیرند. به منظور جمع آوری دقیق اطلاعات، مهم است که دانش آموزان در مورد مراحل اندازه گیری بحث کنند. آن ها را تشویق کنید تا سؤالاتی را که نیاز است قبل از جمع آوری اطلاعات اندازه گیری شده بیان شوند، مطرح کنند. سؤالاتی مانند سؤالات زیر ممکن است برای آن ها پیش بیاید:
- وقتی ما قد را اندازه می گیریم، آیا باید کفش هایمان را در آوریم؟ آیا باید در مقابل دیوار بایستیم؟ اگر موهای بعضی بلند بود چطور؛ آیا باید آن را اندازه بگیریم؟
- وقتی پا های افراد را اندازه می گیریم، آیا باید کفش هایشان پایشان باشد؟ دقیقاً کجای پا باید اندازه گیری شود؟ از پاشنه تا انگشت بزرگ؟ از پاشنه تا انگشت کوچک؟
- آیا ما باید از متر و سانتی متر استفاده کنیم؟
- آیا می توانیم قد ها را بر حسب متر اندازه بگیریم و سپس وقتی کار تمام شد، به سانتیمتر تبدیل کنیم؟
این سؤالات را برای قانع کردن دانش آموزان جواب دهید. سپس اندازه گیری را شروع کنید. ابتدا روی اطلاعات قد تمرکز کنید. دانش آموزان می توانند در گروه های دو یا سه نفره برای اندازه گیری قد یکدیگر و بررسی اندازه ها، کار کنند. وقتی قد همه ی دانش آموزان اندازه گیری شد، از آن ها بخواهید با توجه به قدشان که به طور واقعی اندازه گیری شده، به صف بایستند. این صف را با صفی که در آغاز درس تشکیل شد، مقایسه کنید؟ آیا اندازه گیری ها منطقی به نظر می رسد؟ آیا دانش آموزان در همان مکان هایی که در آغاز درس ایستاده بودند، قرار دارند؟ یا جای بعضی از افراد خیلی فرق کرده است؟ وقتی به این صف که بر پایه ی اندازه های واقعی تشکیل شده، نگاه می کنید، آیا دانش آموزان واقعاً به ترتیب قد ایستاده اند؟ یا بهتر است که قد برخی یا همه ی دانش آموزان را دوباره با دقت بیشتری اندازه بگیریم؟ اگر برخی از اندازه گیری ها به طور آشکار غیر صحیح است، از دانش آموزان بخواهید تا دلیل اشتباه را حدس بزنند. آیا آن ها ابزار اندازه گیری را عمود بر سطح زمین نگه داشته اند؟ از آن جایی که چوب بر حسب متر، احتمالاً به اندازه ی کافی بلند نیست تا کل قد یک فرد را اندازه بگیرد، آیا دانش آموزان انتهای اندازه گیری اول را قبل از این که ابزار اندازه گیری را برای ادامه ی اندازه گیری حرکت دهند، با دقت علامت گذاری کرده اند؟ آیا آن ها اندازه گیری را از نقطه ی مناسب ابزار اندازه گیری شروع کرده اند؟
وقتی اندازه گیری کامل شد، برگه هایی را به دانش آموزان بدهید و از آن ها بخواهید که اسم ها و اندازه گیری هایشان را یادداشت کنند. سپس دانش آموزان باید این اطلاعات را روی یک نمودار سازماندهی کنند. در مورد این که کدام اعدد اندازه گیری شده باید در محور افقی قرار گیرد، بحث کنید. به دانش آموزان کمک کنید تا بفهمند که گرچه برخی از اعداد، جزء داده های اندازه گیری ما نمی باشند، ولی آن ها را باید در روی محور ها نشان دهیم. (مثلاً فرض کنید دانش آموزان بر حسب سانتی متر اندازه گیری کرده اند و داده های 124، 132، 137، 137، ... را به دست آورده اند. محور افقی حتماً باید شامل اعداد 125، 126، 127و ... نیز باشد.)
وقتی که مجموعه اطلاعات سازماندهی شده است، از دانش آموزان بخواهید تا مشاهداتی در مورد شکل داده ها انجام دهند. برد این داده ها چیست؟ بیشترین داده ها در هر مجموعه، بین چه مقدار هایی است؟ آیا این مقادیر اندازه گیری شده، با مشاهدات کلاس در مورد نمودار انسانی که قبلاً در درس شکل گرفت، به نظر سازگار می آید؟ سپس دانش آموزن می توانند مد و میانه را تعیین کنند.
قسمت دوم: دانش آموزان مجموعه داده ها با اشکال مشابه را مقایسه می کنند.
با تمرکز دانش آموزان روی سؤالات دوم و سوم، درس را ادامه دهید:
- قد نمونه ای پایه ی چهارم در این کلاس چگونه است؟
- طول نمونه ای پا ها در این کلاس چگونه است؟
- چه تفاوت ها و چه شباهت هایی بین این دو مجموعه اطلاعات مشاهده می کنیم؟
مراحلی را که در اداره ی درس، قسمت اول، برای اندازه گیری پای افراد بیان شد، دنبال کنید. وقتی دانش آموزان آماده ی ثبت اطلاعات هستند، از برگه هایی با رنگ متفاوت استفاده کنید. دانش آموزان باید این اطلاعات را همان طوری که در اداره ی درس، قسمت اول، ارائه شد، تحلیل کنند. سپس باید این دو مجموعه اطلاعات را با هم مقایسه کنند. آیا اندازه گیری ها مشابه است؟ آیا شکل دو نمودار مشابه است یا متفاوت؟ آیا پستی و بلندی، مد ها، و قسمت های بیرونی در هر دو نمودار در جا های مشابه قرار دارند؟
دانش آموزان همچنین می توانند مشاهداتی در مورد روابط تناسبی بین این مجموعه داده ها، درست مثل کاری که با اطلاعات مطلق انجام دادند، انجام دهند. (برای مثال، "قد متوسط تقریباً هفت برابر طول پای متوسط است.") وقتی روابط تناسبی بین قد و پای افراد مشابه است؟ اگر دانش آموزان "آلیس در سرزمین عجایب" تصور شوند و دارویی بخورند که آن ها را بزرگ تر یا کوچک تر کند، آن ها انتظار دارند که نمودار های قد و طول پایشان چگونه باشد؟
قسمت سوم: مقایسه ی مجموعه داده ها با اشکال متفاوت
برای این قسمت از درس، دانش آموزان سؤالات زیر را بررسی می کنند:
ما از خانه چقدر مسیر را گذرانده ایم؟
پدر و مادران ما چه مقدار از مسیر را طی کرده اند؟
قبل از جمع آوری داده ها، دانش آموزان نیاز دارند که تعاریف و مراحل را بشناسند. سؤالاتی که ممکن است پیش آید:
- منظور از خانه چیست؟ خانه ای که الان من در آن زندگی می کنم یا خانه ای که قبلاً زندگی می کردم؟ اگر من قبل از این که این جا زندگی کنم، به تهران رفته باشم، چطور؟ آیا من باید فاصله ی این جا تا تهران را هم حساب کنم؟
- اگر به جای خیلی دوری مسافرت نکرده باشم، چطور؟
- ما چگونه باید فاصله ی بین شهر ها را بفهمیم؟ اندازه گیری نقشه؟ استفاده از جدول؟
- آیا مردم باید شهر های مبدأ و شهر های مقصد شان را بنویسند؟ بنابراین ما می توانیم چک کنیم که فاصله ها منطقی است؟ یا باید فرض کنیم که مقدار طی شده توسط اتومبیل درست خواهد بود؟
- دانش آموزان باید این داده ها را جمع آوری، ضبط، سازماندهی و تحلیل کنند. وقتی اطلاعات را جمع آوری و ضبط می کنند، ممکن است دانش آموزان مفید بدانند که برای خودشان از یک رنگ و برای پدر و مادرشان از رنگ دیگر استفاده کنند. فرق عمده در این بحث این خواهد بود که مجموعه داده ها برای این تحقیق احتمال اشکال مشابه ندارند. دانش آموزان باید در مورد این تفاوت ها مشاهداتی انجام دهند. بیشترین داده در هر مجموعه داده در کجا واقع شده است؟ در مورد پستی و بلندی های اطلاعات چطور؟ آیا اطلاعات در یک موقعیت زیاد پهن شده اند؟ در مورد مد چطور؟ آیا هیچ قسمت بیرونی وجود دارد؟
- دانش آموزان ممکن است با تلفیق همه ی داده ها از دو مجموعه به یک مجموعه، به طور متفاوتی به سازماندهی اطلاعات توجه کنند. دانش آموزان برای سازماندهی چنین نموداری چه نظری دارند؟ چه مشاهداتی برای دانش آموزان، وقتی این نمودار بتازگی شکل گرته را بررسی می کنند، شفاف تر می شود؟
در پایان، دانش آموزان باید چندین مشاهده ی ریاضیاتی در مورد مجموعه داده ها انجام دهند.
توسعه
از فعالیت های گسترده ای که به مفهوم این درس مرتبط است، استفاده کنید. این فعالیت ها می تواند شامل ادامه ی مطالعه ی یک ایده ی ریاضیاتی خاص و کاربرد هایش باشد و یا تعدادی پیشنهاد برای متناسب کردن درس با سطح عملکرد همه ی دانش آموزان باشد.
بررسی اجرای طرح درس در کلاس
الف. ارزیابی درس
این قسمت شامل سؤالاتی است که معلم در حین درس و بعد از آن می تواند بپرسد. ارزیابی درس، معلم را قادر خواهد کرد تا آموزش درس را تنظیم کند، فعالیت های بیشتری طراحی کند، ابزارهای ارزیابی مناسب را انتخاب کند و برنامه ی آموزشی و ارزیابی را کامل کند.
از این سؤالات یا مشابه آن ها در همه ی درس ها استفاده کنید.
- آیا دانش آموزان به اهداف این درس رسیده اند؟ چگونه مطمئن می شوید؟ چه تغییراتی را باید برای مؤثرتر کردن درس انجام دهم؟
- برای موفقیت در این فعالیت، دانش آموزان به چه تمرین های دیگری نیاز دارند؟
- قبل از این که دانش آموزان به سراغ فعالیت بعدی بروند، چه تمرین های اضافی نیاز دارند؟
- آیا دانش آموزان قادرند تا دلایلشان را به روشی واضح و منطقی توضیح دهند؟
- شاخص هایی که دانش آموزان را قادر می کند تا با هم کار کنند و مسئولیت ها را تقسیم کنند، چه هستند؟
- چه مدرکی ثابت می کند دانش آموزان مسئولیت فردی را برای فهم مفاهیم ریاضیاتی مطرح شده در گروهشان، انجام داده اند؟
- آیا از هر دانش آموز، سؤالاتی برای روشن شدن مفاهیم ریاضیاتی و گسترش فهمشان از ریاضیات، به عمل آمده است؟
- آیا دانش آموزان قادرند تا اطلاعات را سازماندهی و یا ثبت کنند؟
- دانش آموزان از چه واژگان جدیدی که برای درس بعد بیشتر موردنیاز است، استفاده کرده اند؟
- آیا این درس ها برای دانش آموزان مفید است؟ اگر نه، چه اصلاحاتی می تواند مفید باشد تا من انجام دهم؟
- چه تعمیم ها و تمرینات اضافی می تواند مفید باشد؟
ب. ارزیابی ریاضیاتی
پیش زمینه ی ریاضیاتی برای معلم ها
سؤالات می توانند متفاوت باشند، شامل آن هایی که به وسیله ی کلمات پاسخ داده می شوند، مانند "نهار دلخواه شما چیست؟" و آن هایی که با اعداد پاسخ داده می شوند، مانند: هر هفته چه مقدار غذا در رستوران ها بیرون ریخته می شود؟". برخی خصوصیات این دو نوع اطلاعات به قرار زیرند:
- پاسخ ها
- معمولاً، سؤالات در مورد اطلاعات مطلق، با اعداد پاسخ داده نمی شوند. عموماً اطلاعات مطلق شامل گروه هایی هستند که هر کدام یک خصوصیت مشترک دارند، مانند جنسیت، مسابقه، مذهب و یا علایقی که شخص دارد، مانند رنگ دلخواه، تیم بیس بال، کاندیداهای الکترونیکی و ... .
- سؤالات در مورد اطلاعات عددی توسط اعداد پاسخ داده می شوند، مانند فاصله ای که دانش آموزان تا مدرسه طی می کنند.
- نمایش
- معمولاً از رسم خط، نمودار های میله ای و نمودار های دایره ای، برای نمایش اطلاعات مطلق استفاده می شود. رسم خط، نمودارهای میله ای و رسم نمودار درختی برای نمایش اطلاعات عددی استفاده می شوند.
- تحلیل
- اطلاعات مطلق را می توان به صورت عددی توسط شمردن، کسر ها، درصد ها از اطلاعاتی که به دسته های مختلف تقسیم شده اند، تحلیل کرد. به وسیله ی شمردن، تعیین مد امکان پذیر است. به هر حال تا وقتی که اطلاعات مطلق را می توان به روش های مختلف مرتب کرد (مانند: شجاع ها، اعداد اصلی، دزدان دریایی، قرمز ها یا قرمز ها، شجاع ها، دزدان دریایی، اعداد اصلی)، تعیین میانه یا برد اطلاعات مطلق امکان پذیر نیست. شکل این داده ها در تحلیل اطلاعات مطلق به کار می روند.
اطلاعات عددی معمولاً با بیان میانه، مد، میانگین، برد و به وسیله ی امتحان شکل اطلاعات، تحلیل می شوند. شمردن، کسر ها و درصد ها را نیز می توان در تحلیل اطلاعات عددی به کار برد.
واژه های مرتبط با تحلیل اطلاعات به قرار زیرند:
میانگین: میانگین به وسیله ی جمع اعداد یک دسته و سپس تقسیم آن بر تعداد عدد های جمع شده، تعیین می شود.
میانه: مقداری است که تعداد داده های بعد از آن، برابر با تعداد داده های قبل از آن باشد.
مد: داده ای که بیشترین فراوانی را دارد.
برد: اختلاف بین بیشترین و کمترین داده در مجموعه ی داده ها.
مترجم: وحید رستمی
